Trojúhelník 9 10 10
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 9
b = 10
c = 10
Obsah trojúhelníku: S = 40,18662849739
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Úhel ∠ A = α = 53,48773679008° = 53°29'15″ = 0,93435306781 rad
Úhel ∠ B = β = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 1,10440309877 rad
Úhel ∠ C = γ = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 1,10440309877 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,93302855497
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,03772569948
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,03772569948
Těžnice: ta = 8,93302855497
Těžnice: tb = 8,09332070281
Těžnice: tc = 8,09332070281
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,77114679292
Poloměr opsané kružnice: R = 5,59989251096
Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[4,05; 8,03772569948]
Těžiště: T[4,68333333333; 2,67990856649]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 2,52195162993]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,77114679292]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 126,51326320992° = 126°30'45″ = 0,93435306781 rad
∠ B' = β' = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 1,10440309877 rad
∠ C' = γ' = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 1,10440309877 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=10 c=10
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=9+10+10=29
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−9)(14,5−10)(14,5−10) S=1614,94=40,19
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 40,19=8,93 vb=b2 S=102⋅ 40,19=8,04 vc=c2 S=102⋅ 40,19=8,04
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 10102+102−92)=53°29′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−102)=63°15′23" γ=180°−α−β=180°−53°29′15"−63°15′23"=63°15′23"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=14,540,19=2,77
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,771⋅ 14,59⋅ 10⋅ 10=5,6
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 102−92=8,93 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 92−102=8,093 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 102−102=8,093
Vypočítat další trojúhelník