Trojúhelník 9 17 20

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 17
c = 20

Obsah trojúhelníku: S = 76,13114652427
Obvod trojúhelníku: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Úhel ∠ A = α = 26,60546816894° = 26°36'17″ = 0,46443392919 rad
Úhel ∠ B = β = 57,76990473645° = 57°46'9″ = 1,00882600823 rad
Úhel ∠ C = γ = 95,62662709461° = 95°37'35″ = 1,66989932794 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 16,91881033873
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 8,95766429697
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,61331465243

Těžnice: t_a = 18,00769431054
Těžnice: t_b = 12,97111217711
Těžnice: t_c = 9,22195444573

Poloměr vepsané kružnice: r = 3,31100637062
Poloměr opsané kružnice: R = 10,04884076795

Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[4,8; 7,61331465243]
Těžiště: T[8,26766666667; 2,53877155081]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; -0,98551380078]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,31100637062]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 153,39553183106° = 153°23'43″ = 0,46443392919 rad
∠ B' = β' = 122,23109526355° = 122°13'51″ = 1,00882600823 rad
∠ C' = γ' = 84,37437290539° = 84°22'25″ = 1,66989932794 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 9 b = 17 c = 20

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 9 + 17 + 20 = 46

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 9) (23 - 17) (23 - 20) S = 5796 = 76, 13

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 6 , 1 3}{9} = 16, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 6 , 1 3}{1 7} = 8, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 6 , 1 3}{2 0} = 7, 61

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 26 ° 3 6^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 0}) = 57 ° 4 6^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 3 6^{'} 17 " - 57 ° 4 6^{'} 9 " = 95 ° 3 7^{'} 35 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 6 , 1 3}{2 3} = 3, 31

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 3 1 \cdot 2 3} = 10, 05

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 18, 007 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 12, 971 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 9, 22

Vypočítat další trojúhelník