Pravouhlý trojuholník kalkulačka (A,S)

Prosím zadajte dve vlastnosti pravouhlého trojuholníka

Poznám symboly: a, b, c, A, B, v, S, o, r, R


Zadané obsah S a uhol α.

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5.09766953733   b = 7.84882226365   c = 9.35879325858

Obsah trojuholníka: S = 20
Obvod trojuholníka: o = 22.30328505956
Semiperimeter (poloobvod): s = 11.15114252978

Uhol ∠ A = α = 33° = 0.57659586532 rad
Uhol ∠ B = β = 57° = 0.99548376736 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1.57107963268 rad

Výška trojuholníka: va = 7.84882226365
Výška trojuholníka: vb = 5.09766953733
Výška trojuholníka: vc = 4.27444484033

Ťažnica: ta = 8.25215861799
Ťažnica: tb = 6.43223365402
Ťažnica: tc = 4.67989662929

Polomer vpísanej kružnice: r = 1.7933492712
Polomer opísanej kružnice: R = 4.67989662929

Súradnice vrcholov: A[9.35879325858; 0] B[0; 0] C[2.77658592499; 4.27444484033]
Ťažisko: T[4.04545972786; 1.42548161344]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4.67989662929; 0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3.30332026613; 1.7933492712]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147° = 0.57659586532 rad
∠ B' = β' = 123° = 0.99548376736 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1.57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: uhol α a obsah S

α=33 S=20α = 33^\circ \ \\ S = 20

2. Z úhla α vypočítame uhol β:

α+β+90=180 β=90α=9033=57α + β + 90^\circ = 180^\circ \ \\ β = 90^\circ - α = 90^\circ - 33 ^\circ = 57 ^\circ

3. Z obsahu S, úhla α a úhla β vypočítame preponu c:

c2 sinαsinβ=2 S c=2 Ssinαsinβ c=2 20sin33 sin57=9.358c^2 \ \sin α \sin β = 2 \ S \ \\ c = \sqrt{ \dfrac{ 2 \ S }{ \sin α \sin β } } \ \\ c = \sqrt{ \dfrac{ 2 \cdot \ 20 }{ \sin 33^\circ \cdot \ \sin 57^\circ } } = 9.358

4. Z obsahu S a prepony c vypočítame h:

S=c h2 h=2 S/c=2 20/9.358=4.274S = \dfrac{ c \cdot \ h }{ 2 } \ \\ h = 2 \cdot \ S / c = 2 \cdot \ 20 / 9.358 = 4.274

5. Z prepony c a úhla α vypočítame odvesnu a:

sinα=a:c a=c sinα=9.358 sin(33)=5.097\sin α = a:c \ \\ a = c \cdot \ \sin α = 9.358 \cdot \ \sin(33 ^\circ ) = 5.097

6. Z odvesny a a prepony c vypočítame odvesnu b - Pytagorova veta:

c2=a2+b2 b=c2a2=9.35825.0972=7.848c^2 = a^2+b^2 \ \\ b = \sqrt{ c^2 - a^2 } = \sqrt{ 9.358^2 - 5.097^2 } = 7.848

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a=5.1 b=7.85 c=9.36a = 5.1 \ \\ b = 7.85 \ \\ c = 9.36

7. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=5.1+7.85+9.36=22.3o = a+b+c = 5.1+7.85+9.36 = 22.3

8. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=22.32=11.15s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 22.3 }{ 2 } = 11.15

9. Obsah trojuholníka

S=ab2=5.1 7.852=20S = \dfrac{ ab }{ 2 } = \dfrac{ 5.1 \cdot \ 7.85 }{ 2 } = 20

10. Výpočet výšiek pravoúhleho trojuholníku z jeho obsahu.

va=b=7.85  vb=a=5.1  S=cvc2   vc=2 Sc=2 209.36=4.27v _a = b = 7.85 \ \\ \ \\ v _b = a = 5.1 \ \\ \ \\ S = \dfrac{ c v _c }{ 2 } \ \\ \ \\ \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 20 }{ 9.36 } = 4.27

11. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka - základné použitie sínus funkcie

sinα=ac α=arcsin(ac)=arcsin(5.19.36)=33 sinβ=bc β=arcsin(bc)=arcsin(7.859.36)=57 γ=90\sin α = \dfrac{ a }{ c } \ \\ α = \arcsin(\dfrac{ a }{ c } ) = \arcsin(\dfrac{ 5.1 }{ 9.36 } ) = 33^\circ \ \\ \sin β = \dfrac{ b }{ c } \ \\ β = \arcsin(\dfrac{ b }{ c } ) = \arcsin(\dfrac{ 7.85 }{ 9.36 } ) = 57^\circ \ \\ γ = 90^\circ

12. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=2011.15=1.79S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 20 }{ 11.15 } = 1.79

13. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=c2=9.362=4.68R = \dfrac{ c }{ 2 } = \dfrac{ 9.36 }{ 2 } = 4.68

14. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta2=b2+(a/2)2 ta=b2+(a/2)2=7.852+(5.1/2)2=8.252  tb2=a2+(b/2)2 tb=a2+(b/2)2=5.12+(7.85/2)2=6.432  tc=R=c2=9.362=4.679t_a^2 = b^2 + (a/2)^2 \ \\ t_a = \sqrt{ b^2 + (a/2)^2 } = \sqrt{ 7.85^2 + (5.1/2)^2 } = 8.252 \ \\ \ \\ t_b^2 = a^2 + (b/2)^2 \ \\ t_b = \sqrt{ a^2 + (b/2)^2 } = \sqrt{ 5.1^2 + (7.85/2)^2 } = 6.432 \ \\ \ \\ t_c = R = \dfrac{ c }{ 2 } = \dfrac{ 9.36 }{ 2 } = 4.679

Vypočítať ďaľší trojuholník




Trigonometria - riešič pravouhlého trojuholníka. Nájde preponu c trojuholníka - kalkulačka. Plocha pravouhlého trojuholníka S- kalkulačka.

Možnosti výpočtu trojuholníka: