Pravouhlý trojuholník kalkulačka (A,a)

Zadané odvesna a a uhol α.

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 1,73220508076
c = 3,46441016151

Obsah trojuholníka: S = 2,59880762114
Obvod trojuholníka: o = 8,19661524227
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,09880762114

Uhol ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 1,73220508076
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,5

Ťažnica: t_a = 2,29112878475
Ťažnica: t_b = 3,12224989992
Ťažnica: t_c = 1,73220508076

Úsek c_a = 0,86660254038
Úsek c_b = 2,59880762114

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,63439745962
Polomer opísanej kružnice: R = 1,73220508076

Súradnice vrcholov: A[3,46441016151; 0] B[0; 0] C[2,59880762114; 1,5]
Ťažisko: T[2,02107259422; 0,5]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,73220508076; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,36660254038; 0,63439745962]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: odvesna a a uhol α

a = 3 α = 60 °

2. Z úhla α vypočítame uhol β:

α + β + 90 ° = 180 ° β = 90 ° - α = 90 ° - 60 ° = 30 °

3. Z odvesny a a úhla α vypočítame preponu c:

sin α = a : c c = a / sin α = 3 / sin (60 °) = 3, 464

4. Z odvesny a a prepony c vypočítame odvesnu b - Pytagorova veta:

c^{2} = a^{2} + b^{2} b = c^{2} - a^{2} = 3, 46 4^{2} - 3^{2} = 1, 732

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 3 b = 1, 73 c = 3, 46

5. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 1, 73 + 3, 46 = 8, 2

6. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 , 2}{2} = 4, 1

7. Obsah trojuholníka

S = \frac{a b}{2} = \frac{3 \cdot 1 , 7 3}{2} = 2, 6

8. Výpočet výšiek pravoúhleho trojuholníku z jeho obsahu.

v_{a} = b = 1, 73 v_{b} = a = 3 S = \frac{c v _{c}}{2} v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 6}{3 , 4 6} = 1, 5

9. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka - základné použitie sínus funkcie

sin α = \frac{a}{c} α = arcsin (\frac{a}{c}) = arcsin (\frac{3}{3 , 4 6}) = 60 ° sin β = \frac{b}{c} β = arcsin (\frac{b}{c}) = arcsin (\frac{1 , 7 3}{3 , 4 6}) = 30 ° γ = 90 °

10. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 6}{4 , 1} = 0, 63

11. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{c}{2} = \frac{3 , 4 6}{2} = 1, 73

12. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a}^{2} = b^{2} + (a / 2)^{2} t_{a} = b^{2} + (a / 2)^{2} = 1, 7 3^{2} + (3 / 2)^{2} = 2, 291 t_{b}^{2} = a^{2} + (b / 2)^{2} t_{b} = a^{2} + (b / 2)^{2} = 3^{2} + (1, 73 / 2)^{2} = 3, 122 t_{c} = R = \frac{c}{2} = \frac{3 , 4 6}{2} = 1, 732

Vypočítať ďaľší trojuholník