Trojuholník 1 13 13
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 1 b = 13 c = 13Obsah trojuholníka: S = 6,49551905284
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Uhol ∠ A = α = 4,40884550079° = 4°24'30″ = 0,07769420548 rad
Uhol ∠ B = β = 87,7965772496° = 87°47'45″ = 1,53223252994 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,7965772496° = 87°47'45″ = 1,53223252994 rad
Výška trojuholníka: va = 12,99903810568
Výška trojuholníka: vb = 0,99992600813
Výška trojuholníka: vc = 0,99992600813
Ťažnica: ta = 12,99903810568
Ťažnica: tb = 6,53883484153
Ťažnica: tc = 6,53883484153
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,48111252243
Polomer opísanej kružnice: R = 6,50548130329
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[0,03884615385; 0,99992600813]
Ťažisko: T[4,34661538462; 0,33330866938]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 0,25501851166]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,5; 0,48111252243]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 175,59215449921° = 175°35'30″ = 0,07769420548 rad
∠ B' = β' = 92,2044227504° = 92°12'15″ = 1,53223252994 rad
∠ C' = γ' = 92,2044227504° = 92°12'15″ = 1,53223252994 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=1 b=13 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=1+13+13=27
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−1)(13,5−13)(13,5−13) S=42,19=6,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 6,5=12,99 vb=b2 S=132⋅ 6,5=1 vc=c2 S=132⋅ 6,5=1
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 13132+132−12)=4°24′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 1312+132−132)=87°47′45" γ=180°−α−β=180°−4°24′30"−87°47′45"=87°47′45"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,56,5=0,48
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,481⋅ 13,51⋅ 13⋅ 13=6,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 132−12=12,99 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 12−132=6,538 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 12+2⋅ 132−132=6,538
Vypočítať ďaľší trojuholník