Trojuholník 2 10 10

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 2
b = 10
c = 10

Obsah trojuholníka: S = 9,95498743711
Obvod trojuholníka: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11

Uhol ∠ A = α = 11,47883409545° = 11°28'42″ = 0.22003348423 rad
Uhol ∠ B = β = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 9,95498743711
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 1,99899748742
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,99899748742

Ťažnica: t_a = 9,95498743711
Ťažnica: t_b = 5,19661524227
Ťažnica: t_c = 5,19661524227

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,90545340337
Polomer opísanej kružnice: R = 5,02551890763

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[0,2; 1,99899748742]
Ťažisko: T[3,4; 0,66333249581]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 0,50325189076]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1; 0,90545340337]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 168,52216590455° = 168°31'18″ = 0.22003348423 rad
∠ B' = β' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad
∠ C' = γ' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 10 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 10 + 10 = 22

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 2}{2} = 11

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11 (11 - 2) (11 - 10) (11 - 10) S = 99 = 9, 95

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 , 9 5}{2} = 9, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 , 9 5}{1 0} = 1, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 , 9 5}{1 0} = 1, 99

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 0 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 0}) = 11 ° 2 8^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 1 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 1 0}) = 84 ° 1 5^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 11 ° 2 8^{'} 42 " - 84 ° 1 5^{'} 39 " = 84 ° 1 5^{'} 39 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 , 9 5}{1 1} = 0, 9

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 1 0 \cdot 1 0}{4 \cdot 0 , 9 0 5 \cdot 1 1} = 5, 03

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 9, 95 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 5, 196 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 5, 196

Vypočítať ďaľší trojuholník