Trojuholník 2 12 13

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 2 b = 12 c = 13

Obsah trojuholníka: S = 10,79106209275
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Uhol ∠ A = α = 7,95218754307° = 7°57'7″ = 0,1398786408 rad
Uhol ∠ B = β = 56,1043644797° = 56°6'13″ = 0,97991933241 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,94444797724° = 115°56'40″ = 2,02436129215 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,79106209275
Výška trojuholníka: v_b = 1,79884368212
Výška trojuholníka: v_c = 1,66600955273

Ťažnica: t_a = 12,47699639133
Ťažnica: t_b = 7,10663352018
Ťažnica: t_c = 5,63547138348

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,79993052539
Polomer opísanej kružnice: R = 7,22884996873

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[1,11553846154; 1,66600955273]
Ťažisko: T[4,70551282051; 0,55333651758]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -3,16224686132]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,79993052539]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 172,04881245693° = 172°2'53″ = 0,1398786408 rad
∠ B' = β' = 123,8966355203° = 123°53'47″ = 0,97991933241 rad
∠ C' = γ' = 64,05655202276° = 64°3'20″ = 2,02436129215 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 12 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 12 + 13 = 27

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 2) (13, 5 - 12) (13, 5 - 13) S = 116, 44 = 10, 79

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 , 7 9}{2} = 10, 79 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 , 7 9}{1 2} = 1, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 , 7 9}{1 3} = 1, 66

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 3 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 3}) = 7 ° 5 7^{'} 7 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 1 3}) = 56 ° 6^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 7 ° 5 7^{'} 7 " - 56 ° 6^{'} 13 " = 115 ° 5 6^{'} 40 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 , 7 9}{1 3 , 5} = 0, 8

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 1 2 \cdot 1 3}{4 \cdot 0 , 7 9 9 \cdot 1 3 , 5} = 7, 23

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 12, 47 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 7, 106 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 5, 635

Vypočítať ďaľší trojuholník