Trojuholník 2 7 8

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 2
b = 7
c = 8

Obsah trojuholníka: S = 6,43771965948
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Uhol ∠ A = α = 13,2911177243° = 13°17'28″ = 0,23219748044 rad
Uhol ∠ B = β = 53,57664263577° = 53°34'35″ = 0,93550850414 rad
Uhol ∠ C = γ = 113,13223963993° = 113°7'57″ = 1,97545328078 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,43771965948
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 1,83991990271
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,60992991487

Ťažnica: t_a = 7,45498322129
Ťažnica: t_b = 4,66436895265
Ťažnica: t_c = 3,24403703492

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,75773172464
Polomer opísanej kružnice: R = 4,35497195693

Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[1,18875; 1,60992991487]
Ťažisko: T[3,06325; 0,53664330496]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; -1,70988184022]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,75773172464]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,7098822757° = 166°42'32″ = 0,23219748044 rad
∠ B' = β' = 126,42435736423° = 126°25'25″ = 0,93550850414 rad
∠ C' = γ' = 66,86876036007° = 66°52'3″ = 1,97545328078 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 7 c = 8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 7 + 8 = 17

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7}{2} = 8, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 5 (8, 5 - 2) (8, 5 - 7) (8, 5 - 8) S = 41, 44 = 6, 44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 , 4 4}{2} = 6, 44 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 , 4 4}{7} = 1, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 , 4 4}{8} = 1, 61

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 8 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 8}) = 13 ° 1 7^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 8}) = 53 ° 3 4^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 1 7^{'} 28 " - 53 ° 3 4^{'} 35 " = 113 ° 7^{'} 57 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 , 4 4}{8 , 5} = 0, 76

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 0 , 7 5 7 \cdot 8 , 5} = 4, 35

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 7, 45 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 664 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 3, 24

Vypočítať ďaľší trojuholník