Trojuholník 2 9 10

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 2 b = 9 c = 10

Obsah trojuholníka: S = 8,1821534086
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Uhol ∠ A = α = 10,47553138432° = 10°28'31″ = 0,18328287167 rad
Uhol ∠ B = β = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 0,95881921787 rad
Uhol ∠ C = γ = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 2,00105717581 rad

Výška trojuholníka: v_a = 8,1821534086
Výška trojuholníka: v_b = 1,81881186858
Výška trojuholníka: v_c = 1,63663068172

Ťažnica: t_a = 9,46604439642
Ťažnica: t_b = 5,63547138348
Ťažnica: t_c = 4,18333001327

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,77991937225
Polomer opísanej kružnice: R = 5.55001909822

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[1,15; 1,63663068172]
Ťažisko: T[3,71766666667; 0,54554356057]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -2,29217462426]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,77991937225]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,52546861568° = 169°31'29″ = 0,18328287167 rad
∠ B' = β' = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 0,95881921787 rad
∠ C' = γ' = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 2,00105717581 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 9 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 9 + 10 = 21

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1}{2} = 10, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 5 (10, 5 - 2) (10, 5 - 9) (10, 5 - 10) S = 66, 94 = 8, 18

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 , 1 8}{2} = 8, 18 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 , 1 8}{9} = 1, 82 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 , 1 8}{1 0} = 1, 64

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 10 ° 2 8^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 1 0}) = 54 ° 5 4^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 2 8^{'} 31 " - 54 ° 5 4^{'} 1 " = 114 ° 3 7^{'} 28 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 , 1 8}{1 0 , 5} = 0, 78

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 9 \cdot 1 0}{4 \cdot 0 , 7 7 9 \cdot 1 0 , 5} = 5, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 9, 46 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 5, 635 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 4, 183

Vypočítať ďaľší trojuholník