Trojuholník 2 9 9
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 2 b = 9 c = 9Obsah trojuholníka: S = 8,944427191
Obvod trojuholníka: o = 20
Semiperimeter (poloobvod): s = 10
Uhol ∠ A = α = 12,75987404169° = 12°45'31″ = 0,22326820287 rad
Uhol ∠ B = β = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,45994553125 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,45994553125 rad
Výška trojuholníka: va = 8,944427191
Výška trojuholníka: vb = 1,988761598
Výška trojuholníka: vc = 1,988761598
Ťažnica: ta = 8,944427191
Ťažnica: tb = 4,7176990566
Ťažnica: tc = 4,7176990566
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,8944427191
Polomer opísanej kružnice: R = 4,52880376544
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[0,22222222222; 1,988761598]
Ťažisko: T[3,07440740741; 0,663253866]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 0,50331152949]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1; 0,8944427191]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,24112595831° = 167°14'29″ = 0,22326820287 rad
∠ B' = β' = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,45994553125 rad
∠ C' = γ' = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,45994553125 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=9 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+9+9=20
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=220=10
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10(10−2)(10−9)(10−9) S=80=8,94
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 8,94=8,94 vb=b2 S=92⋅ 8,94=1,99 vc=c2 S=92⋅ 8,94=1,99
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 992+92−22)=12°45′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 922+92−92)=83°37′14" γ=180°−α−β=180°−12°45′31"−83°37′14"=83°37′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=108,94=0,89
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,894⋅ 102⋅ 9⋅ 9=4,53
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 92−22=8,944 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 22−92=4,717 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 92−92=4,717
Vypočítať ďaľší trojuholník