Trojuholník 3 10 10

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 3 b = 10 c = 10

Obsah trojuholníka: S = 14,833028995
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Uhol ∠ A = α = 17,25438531174° = 17°15'14″ = 0,30111365456 rad
Uhol ∠ B = β = 81,37330734413° = 81°22'23″ = 1,4220228054 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,37330734413° = 81°22'23″ = 1,4220228054 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,88768599666
Výška trojuholníka: v_b = 2,966605799
Výška trojuholníka: v_c = 2,966605799

Ťažnica: t_a = 9,88768599666
Ťažnica: t_b = 5,43113902456
Ťažnica: t_c = 5,43113902456

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,29895904304
Polomer opísanej kružnice: R = 5,05772173742

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[0,45; 2,966605799]
Ťažisko: T[3,48333333333; 0,98986859967]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 0,75985826061]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 1,29895904304]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,74661468826° = 162°44'46″ = 0,30111365456 rad
∠ B' = β' = 98,62769265587° = 98°37'37″ = 1,4220228054 rad
∠ C' = γ' = 98,62769265587° = 98°37'37″ = 1,4220228054 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 10 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 10 + 10 = 23

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3}{2} = 11, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 5 (11, 5 - 3) (11, 5 - 10) (11, 5 - 10) S = 219, 94 = 14, 83

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 8 3}{3} = 9, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 8 3}{1 0} = 2, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 8 3}{1 0} = 2, 97

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 0}) = 17 ° 1 5^{'} 14 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 0}) = 81 ° 2 2^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 1 5^{'} 14 " - 81 ° 2 2^{'} 23 " = 81 ° 2 2^{'} 23 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 8 3}{1 1 , 5} = 1, 29

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 0 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 2 9 \cdot 1 1 , 5} = 5, 06

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 9, 887 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 5, 431 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 5, 431

Vypočítať ďaľší trojuholník