Trojuholník 3 10 12




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3   b = 10   c = 12

Obsah trojuholníka: S = 12,1833492931
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Uhol ∠ A = α = 11,71658523949° = 11°42'57″ = 0,2044480199 rad
Uhol ∠ B = β = 42,59988128925° = 42°35'56″ = 0,74334895424 rad
Uhol ∠ C = γ = 125,68553347127° = 125°41'7″ = 2,19436229122 rad

Výška trojuholníka: va = 8,12223286207
Výška trojuholníka: vb = 2,43766985862
Výška trojuholníka: vc = 2,03105821552

Ťažnica: ta = 10,94330343141
Ťažnica: tb = 7,17663500472
Ťažnica: tc = 4,30111626335

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,97546794345
Polomer opísanej kružnice: R = 7,3877044135

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[2,20883333333; 2,03105821552]
Ťažisko: T[4,73661111111; 0,67768607184]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -4,30991090788]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,97546794345]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 168,28441476051° = 168°17'3″ = 0,2044480199 rad
∠ B' = β' = 137,40111871075° = 137°24'4″ = 0,74334895424 rad
∠ C' = γ' = 54,31546652873° = 54°18'53″ = 2,19436229122 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=10 c=12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=3+10+12=25

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=225=12,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=12,5(12,53)(12,510)(12,512) S=148,44=12,18

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=32 12,18=8,12 vb=b2 S=102 12,18=2,44 vc=c2 S=122 12,18=2,03

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 10 12102+12232)=11°4257"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 3 1232+122102)=42°3556" γ=180°αβ=180°11°4257"42°3556"=125°417"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=12,512,18=0,97

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 0,975 12,53 10 12=7,39

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 102+2 12232=10,943 tb=22c2+2a2b2=22 122+2 32102=7,176 tc=22a2+2b2c2=22 32+2 102122=4,301

Vypočítať ďaľší trojuholník