Trojuholník 3 11 11
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 3
b = 11
c = 11
Obsah trojuholníka: S = 16,34658710383
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Uhol ∠ A = α = 15,67549595262° = 15°40'30″ = 0,27435796538 rad
Uhol ∠ B = β = 82,16325202369° = 82°9'45″ = 1,43440064999 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,16325202369° = 82°9'45″ = 1,43440064999 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 10,89772473589
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,97219765524
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,97219765524
Ťažnica: ta = 10,89772473589
Ťažnica: tb = 5,89549130613
Ťažnica: tc = 5,89549130613
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,30876696831
Polomer opísanej kružnice: R = 5,55218607597
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[0,40990909091; 2,97219765524]
Ťažisko: T[3,8033030303; 0,99106588508]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 0,75770719218]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 1,30876696831]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,32550404738° = 164°19'30″ = 0,27435796538 rad
∠ B' = β' = 97,83774797631° = 97°50'15″ = 1,43440064999 rad
∠ C' = γ' = 97,83774797631° = 97°50'15″ = 1,43440064999 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=11 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+11+11=25
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−3)(12,5−11)(12,5−11) S=267,19=16,35
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 16,35=10,9 vb=b2 S=112⋅ 16,35=2,97 vc=c2 S=112⋅ 16,35=2,97
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−32)=15°40′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 1132+112−112)=82°9′45" γ=180°−α−β=180°−15°40′30"−82°9′45"=82°9′45"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=12,516,35=1,31
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,308⋅ 12,53⋅ 11⋅ 11=5,55
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−32=10,897 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 32−112=5,895 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 112−112=5,895
Vypočítať ďaľší trojuholník