Trojuholník 3 13 13
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 3
b = 13
c = 13
Obsah trojuholníka: S = 19,37697573552
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 13,25216191296° = 13°15'6″ = 0,2311284385 rad
Uhol ∠ B = β = 83,37441904352° = 83°22'27″ = 1,45551541343 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,37441904352° = 83°22'27″ = 1,45551541343 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,91331715701
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,987996267
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,987996267
Ťažnica: ta = 12,91331715701
Ťažnica: tb = 6,83773971656
Ťažnica: tc = 6,83773971656
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,33658453348
Polomer opísanej kružnice: R = 6,5443706133
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[0,34661538462; 2,987996267]
Ťažisko: T[4,44987179487; 0,993332089]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 0,75550430153]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 1,33658453348]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,74883808704° = 166°44'54″ = 0,2311284385 rad
∠ B' = β' = 96,62658095648° = 96°37'33″ = 1,45551541343 rad
∠ C' = γ' = 96,62658095648° = 96°37'33″ = 1,45551541343 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=13 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+13+13=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−3)(14,5−13)(14,5−13) S=375,19=19,37
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 19,37=12,91 vb=b2 S=132⋅ 19,37=2,98 vc=c2 S=132⋅ 19,37=2,98
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 13132+132−32)=13°15′6" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 1332+132−132)=83°22′27" γ=180°−α−β=180°−13°15′6"−83°22′27"=83°22′27"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,519,37=1,34
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,336⋅ 14,53⋅ 13⋅ 13=6,54
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 132−32=12,913 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 32−132=6,837 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 132−132=6,837
Vypočítať ďaľší trojuholník