Trojuholník 3 4 4
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 3 b = 4 c = 4Obsah trojuholníka: S = 5,56221488653
Obvod trojuholníka: o = 11
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,5
Uhol ∠ A = α = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 0,7698793549 rad
Uhol ∠ B = β = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,18663995523 rad
Uhol ∠ C = γ = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,18663995523 rad
Výška trojuholníka: va = 3,70880992435
Výška trojuholníka: vb = 2,78110744327
Výška trojuholníka: vc = 2,78110744327
Ťažnica: ta = 3,70880992435
Ťažnica: tb = 2,91554759474
Ťažnica: tc = 2,91554759474
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,01112997937
Polomer opísanej kružnice: R = 2,15774395599
Súradnice vrcholov: A[4; 0] B[0; 0] C[1,125; 2,78110744327]
Ťažisko: T[1,70883333333; 0,92770248109]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2; 0,8099039835]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 1,01112997937]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 0,7698793549 rad
∠ B' = β' = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,18663995523 rad
∠ C' = γ' = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,18663995523 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=4 c=4
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+4+4=11
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=211=5,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=5,5(5,5−3)(5,5−4)(5,5−4) S=30,94=5,56
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 5,56=3,71 vb=b2 S=42⋅ 5,56=2,78 vc=c2 S=42⋅ 5,56=2,78
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4⋅ 442+42−32)=44°2′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 432+42−42)=67°58′32" γ=180°−α−β=180°−44°2′55"−67°58′32"=67°58′32"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=5,55,56=1,01
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,011⋅ 5,53⋅ 4⋅ 4=2,16
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 42+2⋅ 42−32=3,708 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 42+2⋅ 32−42=2,915 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 42−42=2,915
Vypočítať ďaľší trojuholník