Trojuholník 3 5 6
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 3 b = 5 c = 6Obsah trojuholníka: S = 7,48333147735
Obvod trojuholníka: o = 14
Semiperimeter (poloobvod): s = 7
Uhol ∠ A = α = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Uhol ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,63875124752 rad
Výška trojuholníka: va = 4,98988765157
Výška trojuholníka: vb = 2,99333259094
Výška trojuholníka: vc = 2,49444382578
Ťažnica: ta = 5,31550729064
Ťažnica: tb = 4,03111288741
Ťažnica: tc = 2,82884271247
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,06990449676
Polomer opísanej kružnice: R = 3,00766889715
Súradnice vrcholov: A[6; 0] B[0; 0] C[1,66766666667; 2,49444382578]
Ťažisko: T[2,55655555556; 0,83114794193]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3; -0.22004459314]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1,06990449676]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,63875124752 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=5 c=6
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+5+6=14
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=214=7
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7(7−3)(7−5)(7−6) S=56=7,48
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 7,48=4,99 vb=b2 S=52⋅ 7,48=2,99 vc=c2 S=62⋅ 7,48=2,49
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 652+62−32)=29°55′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 632+62−52)=56°15′4" γ=180°−α−β=180°−29°55′35"−56°15′4"=93°49′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=77,48=1,07
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,069⋅ 73⋅ 5⋅ 6=3,01
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 62−32=5,315 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 62+2⋅ 32−52=4,031 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 52−62=2,828
Vypočítať ďaľší trojuholník