Trojuholník 3 5 7

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3 b = 5 c = 7

Obsah trojuholníka: S = 6,49551905284
Obvod trojuholníka: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5

Uhol ∠ A = α = 21,78767892983° = 21°47'12″ = 0,38802512067 rad
Uhol ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Uhol ∠ C = γ = 120° = 2,09443951024 rad

Výška trojuholníka: v_a = 4,33301270189
Výška trojuholníka: v_b = 2,59880762114
Výška trojuholníka: v_c = 1,85657687224

Ťažnica: t_a = 5,89549130613
Ťažnica: t_b = 4,77696960071
Ťažnica: t_c = 2,17994494718

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,86660254038
Polomer opísanej kružnice: R = 4,04114518843

Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[2,35771428571; 1,85657687224]
Ťažisko: T[3,1199047619; 0,61985895741]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; -2,02107259422]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,86660254038]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,21332107017° = 158°12'48″ = 0,38802512067 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 60° = 2,09443951024 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 5 c = 7

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 5}{2} = 7, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 7, 5 (7, 5 - 3) (7, 5 - 5) (7, 5 - 7) S = 42, 19 = 6, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 , 5}{3} = 4, 33 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 , 5}{5} = 2, 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 , 5}{7} = 1, 86

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 7 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 7}) = 21 ° 4 7^{'} 12 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 7 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 7}) = 38 ° 1 2^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 4 7^{'} 12 " - 38 ° 1 2^{'} 48 " = 120 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 , 5}{7 , 5} = 0, 87

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 0 , 8 6 6 \cdot 7 , 5} = 4, 04

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 5, 895 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 4, 77 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 2, 179

Vypočítať ďaľší trojuholník