Trojuholník 3 6 8

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 6
c = 8

Obsah trojuholníka: S = 7,64444424257
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Uhol ∠ A = α = 18,57333497187° = 18°34'24″ = 0,32441661057 rad
Uhol ∠ B = β = 39,57112194572° = 39°34'16″ = 0,69106480686 rad
Uhol ∠ C = γ = 121,8555430824° = 121°51'20″ = 2,12767784793 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5,09662949505
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,54881474752
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,91111106064

Ťažnica: t_a = 6,91101374805
Ťažnica: t_b = 5,24440442409
Ťažnica: t_c = 2,55495097568

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,89993461677
Polomer opísanej kružnice: R = 4,70993035692

Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[2,31325; 1,91111106064]
Ťažisko: T[3,43875; 0,63770368688]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; -2,48554657726]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,89993461677]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,42766502813° = 161°25'36″ = 0,32441661057 rad
∠ B' = β' = 140,42987805428° = 140°25'44″ = 0,69106480686 rad
∠ C' = γ' = 58,1454569176° = 58°8'40″ = 2,12767784793 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 6 c = 8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 6 + 8 = 17

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7}{2} = 8, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 5 (8, 5 - 3) (8, 5 - 6) (8, 5 - 8) S = 58, 44 = 7, 64

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 , 6 4}{3} = 5, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 , 6 4}{6} = 2, 55 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 , 6 4}{8} = 1, 91

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 8 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 8}) = 18 ° 3 4^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 8}) = 39 ° 3 4^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 3 4^{'} 24 " - 39 ° 3 4^{'} 16 " = 121 ° 5 1^{'} 20 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 , 6 4}{8 , 5} = 0, 9

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot 0 , 8 9 9 \cdot 8 , 5} = 4, 71

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 6, 91 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 5, 244 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 2, 55

Vypočítať ďaľší trojuholník