Trojuholník 3 8 10

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 8
c = 10

Obsah trojuholníka: S = 9,92215674165
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Uhol ∠ A = α = 14,36215115629° = 14°21'41″ = 0,25106556623 rad
Uhol ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ C = γ = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 2,16882027434 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,61443782777
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 2,48803918541
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,98443134833

Ťažnica: t_a = 8,93302855497
Ťažnica: t_b = 6,2054836823
Ťažnica: t_c = 3,39111649916

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,94549111825
Polomer opísanej kružnice: R = 6,04774315681

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[2,25; 1,98443134833]
Ťažisko: T[4,08333333333; 0,66114378278]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -3,40216802571]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,94549111825]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,63884884371° = 165°38'19″ = 2,89109369913 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 2,41988584058 rad
∠ C' = γ' = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 8 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 8 + 10 = 21

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1}{2} = 10, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 5 (10, 5 - 3) (10, 5 - 8) (10, 5 - 10) S = 10, 5 \cdot 7, 5 \cdot 2, 5 \cdot 0, 5 S = 98, 438 = 9, 922

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 , 9 2 2}{3} = 6, 614 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 , 9 2 2}{8} = 2, 48 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 , 9 2 2}{1 0} = 1, 984

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pytagorova veta platí iba v pravouhlom trojuholníku. Pytagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 0}) = 14 ° 2 1^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 0}) = 41 ° 2 4^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 2 1^{'} 41 " - 41 ° 2 4^{'} 35 " = 124 ° 1 3^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 , 9 2 2}{1 0 , 5} = 0, 945

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 1 0}{4 \cdot 0 , 9 4 5 \cdot 1 0 , 5} = 6, 047

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 8, 93 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 6, 205 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 3, 391

Vypočítať ďaľší trojuholník