Trojuholník 3 8 8
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 3
b = 8
c = 8
Obsah trojuholníka: S = 11,78771752341
Obvod trojuholníka: o = 19
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,5
Uhol ∠ A = α = 21,61438457497° = 21°36'50″ = 0,37772327724 rad
Uhol ∠ B = β = 79,19330771251° = 79°11'35″ = 1,38221799406 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,19330771251° = 79°11'35″ = 1,38221799406 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,85881168228
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,94767938085
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,94767938085
Ťažnica: ta = 7,85881168228
Ťažnica: tb = 4,52876925691
Ťažnica: tc = 4,52876925691
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,24107552878
Polomer opísanej kružnice: R = 4,0722222483
Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[0,56325; 2,94767938085]
Ťažisko: T[2,85441666667; 0,98222646028]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; 0,76435417156]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 1,24107552878]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,38661542503° = 158°23'10″ = 0,37772327724 rad
∠ B' = β' = 100,80769228749° = 100°48'25″ = 1,38221799406 rad
∠ C' = γ' = 100,80769228749° = 100°48'25″ = 1,38221799406 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=8 c=8
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+8+8=19
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=219=9,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9,5(9,5−3)(9,5−8)(9,5−8) S=138,94=11,79
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 11,79=7,86 vb=b2 S=82⋅ 11,79=2,95 vc=c2 S=82⋅ 11,79=2,95
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 882+82−32)=21°36′50" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 832+82−82)=79°11′35" γ=180°−α−β=180°−21°36′50"−79°11′35"=79°11′35"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=9,511,79=1,24
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,241⋅ 9,53⋅ 8⋅ 8=4,07
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 82−32=7,858 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 32−82=4,528 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 82−82=4,528
Vypočítať ďaľší trojuholník