Trojuholník 3 8 9

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3 b = 8 c = 9

Obsah trojuholníka: S = 11,83221595662
Obvod trojuholníka: o = 20
Semiperimeter (poloobvod): s = 10

Uhol ∠ A = α = 19,18881364537° = 19°11'17″ = 0,33548961584 rad
Uhol ∠ B = β = 61,21877953194° = 61°13'4″ = 1,06884520891 rad
Uhol ∠ C = γ = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,7388244406 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,88881063775
Výška trojuholníka: v_b = 2,95880398915
Výška trojuholníka: v_c = 2,62993687925

Ťažnica: t_a = 8,38215273071
Ťažnica: t_b = 5,38551648071
Ťažnica: t_c = 4,03111288741

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,18332159566
Polomer opísanej kružnice: R = 4,56438329755

Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[1,44444444444; 2,62993687925]
Ťažisko: T[3,48114814815; 0,87664562642]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; -0,76106388293]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1,18332159566]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,81218635463° = 160°48'43″ = 0,33548961584 rad
∠ B' = β' = 118,78222046806° = 118°46'56″ = 1,06884520891 rad
∠ C' = γ' = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,7388244406 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 8 c = 9

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 8 + 9 = 20

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 0}{2} = 10

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10 (10 - 3) (10 - 8) (10 - 9) S = 140 = 11, 83

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 , 8 3}{3} = 7, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 , 8 3}{8} = 2, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 , 8 3}{9} = 2, 63

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 9 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 9}) = 19 ° 1 1^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 9}) = 61 ° 1 3^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 1 1^{'} 17 " - 61 ° 1 3^{'} 4 " = 99 ° 3 5^{'} 39 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 , 8 3}{1 0} = 1, 18

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 9}{4 \cdot 1 , 1 8 3 \cdot 1 0} = 4, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 8, 382 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 5, 385 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 4, 031

Vypočítať ďaľší trojuholník