Trojuholník 3 9 10

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3 b = 9 c = 10

Obsah trojuholníka: S = 13,26664991614
Obvod trojuholníka: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11

Uhol ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Uhol ∠ B = β = 62,18218607153° = 62°10'55″ = 1,08552782045 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,67219292858° = 100°40'19″ = 1,75770566304 rad

Výška trojuholníka: v_a = 8,84443327743
Výška trojuholníka: v_b = 2,94881109248
Výška trojuholníka: v_c = 2,65332998323

Ťažnica: t_a = 9,3944147114
Ťažnica: t_b = 5,85223499554
Ťažnica: t_c = 4,4722135955

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,20660453783
Polomer opísanej kružnice: R = 5,08880039397

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[1,4; 2,65332998323]
Ťažisko: T[3,8; 0,88444332774]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -0,94222229518]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1,20660453783]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 117,81881392847° = 117°49'5″ = 1,08552782045 rad
∠ C' = γ' = 79,32880707142° = 79°19'41″ = 1,75770566304 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 9 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 9 + 10 = 22

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 2}{2} = 11

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11 (11 - 3) (11 - 9) (11 - 10) S = 176 = 13, 27

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 7}{3} = 8, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 7}{9} = 2, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 2 7}{1 0} = 2, 65

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 17 ° 8^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 0}) = 62 ° 1 0^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 8^{'} 46 " - 62 ° 1 0^{'} 55 " = 100 ° 4 0^{'} 19 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 2 7}{1 1} = 1, 21

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 2 0 6 \cdot 1 1} = 5, 09

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 9, 394 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 5, 852 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 4, 472

Vypočítať ďaľší trojuholník