Trojuholník 4 11 11
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 4 b = 11 c = 11Obsah trojuholníka: S = 21,63333076528
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13
Uhol ∠ A = α = 20,95113633928° = 20°57'5″ = 0,3665670274 rad
Uhol ∠ B = β = 79,52443183036° = 79°31'28″ = 1,38879611898 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,52443183036° = 79°31'28″ = 1,38879611898 rad
Výška trojuholníka: va = 10,81766538264
Výška trojuholníka: vb = 3,93333286641
Výška trojuholníka: vc = 3,93333286641
Ťažnica: ta = 10,81766538264
Ťažnica: tb = 6,18546584384
Ťažnica: tc = 6,18546584384
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,66441005887
Polomer opísanej kružnice: R = 5,59332269786
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[0,72772727273; 3,93333286641]
Ťažisko: T[3,90990909091; 1,31111095547]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,01769503597]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1,66441005887]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,04986366072° = 159°2'55″ = 0,3665670274 rad
∠ B' = β' = 100,47656816964° = 100°28'32″ = 1,38879611898 rad
∠ C' = γ' = 100,47656816964° = 100°28'32″ = 1,38879611898 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=11 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+11+11=26
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=226=13
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−4)(13−11)(13−11) S=468=21,63
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 21,63=10,82 vb=b2 S=112⋅ 21,63=3,93 vc=c2 S=112⋅ 21,63=3,93
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−42)=20°57′5" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1142+112−112)=79°31′28" γ=180°−α−β=180°−20°57′5"−79°31′28"=79°31′28"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1321,63=1,66
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,664⋅ 134⋅ 11⋅ 11=5,59
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−42=10,817 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 42−112=6,185 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 112−112=6,185
Vypočítať ďaľší trojuholník