Trojuholník 4 12 13

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4 b = 12 c = 13

Obsah trojuholníka: S = 23,89442984831
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Uhol ∠ A = α = 17,83986287523° = 17°50'19″ = 0,31113428058 rad
Uhol ∠ B = β = 66,78219922566° = 66°46'55″ = 1,16655656459 rad
Uhol ∠ C = γ = 95,37993789911° = 95°22'46″ = 1,66546842019 rad

Výška trojuholníka: v_a = 11,94771492416
Výška trojuholníka: v_b = 3,98223830805
Výška trojuholníka: v_c = 3,67660459205

Ťažnica: t_a = 12,34990890352
Ťažnica: t_b = 7,51766481892
Ťažnica: t_c = 6,14441028637

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,6487882654
Polomer opísanej kružnice: R = 6,5298754134

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[1,57769230769; 3,67660459205]
Ťažisko: T[4,8598974359; 1,22553486402]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -0,61220707001]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,6487882654]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,16113712478° = 162°9'41″ = 0,31113428058 rad
∠ B' = β' = 113,21880077434° = 113°13'5″ = 1,16655656459 rad
∠ C' = γ' = 84,62106210089° = 84°37'14″ = 1,66546842019 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 12 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 12 + 13 = 29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 4) (14, 5 - 12) (14, 5 - 13) S = 570, 94 = 23, 89

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 , 8 9}{4} = 11, 95 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 , 8 9}{1 2} = 3, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 , 8 9}{1 3} = 3, 68

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 3 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 3}) = 17 ° 5 0^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 3}) = 66 ° 4 6^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 5 0^{'} 19 " - 66 ° 4 6^{'} 55 " = 95 ° 2 2^{'} 46 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 , 8 9}{1 4 , 5} = 1, 65

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 1 2 \cdot 1 3}{4 \cdot 1 , 6 4 8 \cdot 1 4 , 5} = 6, 53

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 12, 349 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 7, 517 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 6, 144

Vypočítať ďaľší trojuholník