Trojuholník 4 6 7

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4 b = 6 c = 7

Obsah trojuholníka: S = 11,9776539567
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Uhol ∠ A = α = 34,77219440319° = 34°46'19″ = 0,60768849107 rad
Uhol ∠ B = β = 58,81113776665° = 58°48'41″ = 1,02664521779 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,41766783015° = 86°25' = 1,5088255565 rad

Výška trojuholníka: v_a = 5,98882697835
Výška trojuholníka: v_b = 3,99221798557
Výška trojuholníka: v_c = 3,42218684477

Ťažnica: t_a = 6,2054836823
Ťažnica: t_b = 4,84876798574
Ťažnica: t_c = 3,70880992435

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,40990046549
Polomer opísanej kružnice: R = 3,50768560301

Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[2,07114285714; 3,42218684477]
Ťažisko: T[3,02438095238; 1,14106228159]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; 0,21991785019]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,40990046549]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,22880559681° = 145°13'41″ = 0,60768849107 rad
∠ B' = β' = 121,18986223335° = 121°11'19″ = 1,02664521779 rad
∠ C' = γ' = 93,58333216985° = 93°35' = 1,5088255565 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 6 c = 7

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 6 + 7 = 17

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7}{2} = 8, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 5 (8, 5 - 4) (8, 5 - 6) (8, 5 - 7) S = 143, 44 = 11, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 , 9 8}{4} = 5, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 , 9 8}{6} = 3, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 , 9 8}{7} = 3, 42

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 7}) = 34 ° 4 6^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 7 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 7}) = 58 ° 4 8^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 4 6^{'} 19 " - 58 ° 4 8^{'} 41 " = 86 ° 2 5^{'}

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 , 9 8}{8 , 5} = 1, 41

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 1 , 4 0 9 \cdot 8 , 5} = 3, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 6, 205 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 4, 848 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 3, 708

Vypočítať ďaľší trojuholník