Trojuholník 4 7 10
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 4 b = 7 c = 10Obsah trojuholníka: S = 10,92987464972
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5
Uhol ∠ A = α = 18,19548723388° = 18°11'42″ = 0,31875604293 rad
Uhol ∠ B = β = 33,12329402077° = 33°7'23″ = 0,57881043646 rad
Uhol ∠ C = γ = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 2,24659278597 rad
Výška trojuholníka: va = 5,46443732486
Výška trojuholníka: vb = 3,12224989992
Výška trojuholníka: vc = 2,18657492994
Ťažnica: ta = 8,39664278119
Ťažnica: tb = 6,76438746292
Ťažnica: tc = 2,73986127875
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,04108329997
Polomer opísanej kružnice: R = 6,40551261522
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[3,35; 2,18657492994]
Ťažisko: T[4,45; 0,72985830998]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -4,00332038451]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,04108329997]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,80551276612° = 161°48'18″ = 0,31875604293 rad
∠ B' = β' = 146,87770597923° = 146°52'37″ = 0,57881043646 rad
∠ C' = γ' = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 2,24659278597 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=7 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+7+10=21
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=221=10,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−4)(10,5−7)(10,5−10) S=119,44=10,93
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 10,93=5,46 vb=b2 S=72⋅ 10,93=3,12 vc=c2 S=102⋅ 10,93=2,19
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1072+102−42)=18°11′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1042+102−72)=33°7′23" γ=180°−α−β=180°−18°11′42"−33°7′23"=128°40′56"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=10,510,93=1,04
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,041⋅ 10,54⋅ 7⋅ 10=6,41
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 102−42=8,396 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 42−72=6,764 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 72−102=2,739
Vypočítať ďaľší trojuholník