Trojuholník 4 7 7

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 4
b = 7
c = 7

Obsah trojuholníka: S = 13,4166407865
Obvod trojuholníka: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9

Uhol ∠ A = α = 33,2033099198° = 33°12'11″ = 0,58795034029 rad
Uhol ∠ B = β = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,28110446254 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,28110446254 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,70882039325
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,833325939
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,833325939

Ťažnica: t_a = 6,70882039325
Ťažnica: t_b = 4,5
Ťažnica: t_c = 4,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,4910711985
Polomer opísanej kružnice: R = 3,65222443632

Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[1,14328571429; 3,833325939]
Ťažisko: T[2,71442857143; 1,278775313]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; 1,04334983895]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1,4910711985]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,7976900802° = 146°47'49″ = 0,58795034029 rad
∠ B' = β' = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,28110446254 rad
∠ C' = γ' = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,28110446254 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 7 c = 7

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 7 + 7 = 18

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8}{2} = 9

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9 (9 - 4) (9 - 7) (9 - 7) S = 180 = 13, 42

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4 2}{4} = 6, 71 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4 2}{7} = 3, 83 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 , 4 2}{7} = 3, 83

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 7}) = 33 ° 1 2^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 7}) = 73 ° 2 3^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 1 2^{'} 11 " - 73 ° 2 3^{'} 54 " = 73 ° 2 3^{'} 54 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 , 4 2}{9} = 1, 49

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 7 \cdot 7}{4 \cdot 1 , 4 9 1 \cdot 9} = 3, 65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 6, 708 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 5 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 5

Vypočítať ďaľší trojuholník