Trojuholník 4 9 11
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 4 b = 9 c = 11Obsah trojuholníka: S = 16,97105627485
Obvod trojuholníka: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12
Uhol ∠ A = α = 20,05499757242° = 20°3' = 0,35499380913 rad
Uhol ∠ B = β = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Uhol ∠ C = γ = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,91106332362 rad
Výška trojuholníka: va = 8,48552813742
Výška trojuholníka: vb = 3,77112361663
Výška trojuholníka: vc = 3,08655568634
Ťažnica: ta = 9,84988578018
Ťažnica: tb = 6,94662219947
Ťažnica: tc = 4,27220018727
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,41442135624
Polomer opísanej kružnice: R = 5,83436309448
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[2,54554545455; 3,08655568634]
Ťažisko: T[4,51551515152; 1,02985189545]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -1,94545436483]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,41442135624]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,95500242759° = 159°57' = 0,35499380913 rad
∠ B' = β' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ C' = γ' = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,91106332362 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=9 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+9+11=24
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=224=12
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12(12−4)(12−9)(12−11) S=288=16,97
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 16,97=8,49 vb=b2 S=92⋅ 16,97=3,77 vc=c2 S=112⋅ 16,97=3,09
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−42)=20°3′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1142+112−92)=50°28′44" γ=180°−α−β=180°−20°3′−50°28′44"=109°28′16"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1216,97=1,41
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,414⋅ 124⋅ 9⋅ 11=5,83
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 112−42=9,849 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 42−92=6,946 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 92−112=4,272
Vypočítať ďaľší trojuholník