Trojuholník 4 9 12




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4   b = 9   c = 12

Obsah trojuholníka: S = 13,63658901433
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Uhol ∠ A = α = 14,62664748646° = 14°37'35″ = 0,25552801443 rad
Uhol ∠ B = β = 34,62221618397° = 34°37'20″ = 0,60442707183 rad
Uhol ∠ C = γ = 130,75113632957° = 130°45'5″ = 2,2822041791 rad

Výška trojuholníka: va = 6,81879450716
Výška trojuholníka: vb = 3,03301978096
Výška trojuholníka: vc = 2,27326483572

Ťažnica: ta = 10,4166333328
Ťažnica: tb = 7,73298124169
Ťažnica: tc = 3,53655339059

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,09108712115
Polomer opísanej kružnice: R = 7,92202750143

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[3,29216666667; 2,27326483572]
Ťažisko: T[5,09772222222; 0,75875494524]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -5,17701795232]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,09108712115]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,37435251354° = 165°22'25″ = 0,25552801443 rad
∠ B' = β' = 145,37878381603° = 145°22'40″ = 0,60442707183 rad
∠ C' = γ' = 49,24986367043° = 49°14'55″ = 2,2822041791 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=9 c=12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=4+9+12=25

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=225=12,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=12,5(12,54)(12,59)(12,512) S=185,94=13,64

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=42 13,64=6,82 vb=b2 S=92 13,64=3,03 vc=c2 S=122 13,64=2,27

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 1292+12242)=14°3735"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 4 1242+12292)=34°3720" γ=180°αβ=180°14°3735"34°3720"=130°455"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=12,513,64=1,09

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 1,091 12,54 9 12=7,92

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 12242=10,416 tb=22c2+2a2b2=22 122+2 4292=7,73 tc=22a2+2b2c2=22 42+2 92122=3,536

Vypočítať ďaľší trojuholník