Trojuholník 4 9 12
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 4 b = 9 c = 12Obsah trojuholníka: S = 13,63658901433
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Uhol ∠ A = α = 14,62664748646° = 14°37'35″ = 0,25552801443 rad
Uhol ∠ B = β = 34,62221618397° = 34°37'20″ = 0,60442707183 rad
Uhol ∠ C = γ = 130,75113632957° = 130°45'5″ = 2,2822041791 rad
Výška trojuholníka: va = 6,81879450716
Výška trojuholníka: vb = 3,03301978096
Výška trojuholníka: vc = 2,27326483572
Ťažnica: ta = 10,4166333328
Ťažnica: tb = 7,73298124169
Ťažnica: tc = 3,53655339059
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,09108712115
Polomer opísanej kružnice: R = 7,92202750143
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[3,29216666667; 2,27326483572]
Ťažisko: T[5,09772222222; 0,75875494524]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -5,17701795232]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,09108712115]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,37435251354° = 165°22'25″ = 0,25552801443 rad
∠ B' = β' = 145,37878381603° = 145°22'40″ = 0,60442707183 rad
∠ C' = γ' = 49,24986367043° = 49°14'55″ = 2,2822041791 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=9 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+9+12=25
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−4)(12,5−9)(12,5−12) S=185,94=13,64
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 13,64=6,82 vb=b2 S=92⋅ 13,64=3,03 vc=c2 S=122⋅ 13,64=2,27
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1292+122−42)=14°37′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1242+122−92)=34°37′20" γ=180°−α−β=180°−14°37′35"−34°37′20"=130°45′5"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=12,513,64=1,09
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,091⋅ 12,54⋅ 9⋅ 12=7,92
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 122−42=10,416 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 42−92=7,73 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 92−122=3,536
Vypočítať ďaľší trojuholník