Trojuholník 5 10 11

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 10
c = 11

Obsah trojuholníka: S = 24,98799919936
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Uhol ∠ A = α = 27,01222939589° = 27°44″ = 0,47114534681 rad
Uhol ∠ B = β = 65,28801488171° = 65°16'49″ = 1,13993535331 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,7087557224° = 87°42'27″ = 1,53107856524 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 9,99219967974
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,99659983987
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,54218167261

Ťažnica: t_a = 10,21102889283
Ťažnica: t_b = 6,92882032303
Ťažnica: t_c = 5,67989083458

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,92215378457
Polomer opísanej kružnice: R = 5,5044405287

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[2,09109090909; 4,54218167261]
Ťažisko: T[4,36436363636; 1,51439389087]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 0,22201762115]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,92215378457]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,98877060411° = 152°59'16″ = 0,47114534681 rad
∠ B' = β' = 114,72198511829° = 114°43'11″ = 1,13993535331 rad
∠ C' = γ' = 92,2922442776° = 92°17'33″ = 1,53107856524 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 10 c = 11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 10 + 11 = 26

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 5) (13 - 10) (13 - 11) S = 624 = 24, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 8}{5} = 9, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 8}{1 0} = 5 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 8}{1 1} = 4, 54

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 27 ° 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 1}) = 65 ° 1 6^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 44 " - 65 ° 1 6^{'} 49 " = 87 ° 4 2^{'} 27 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 9 8}{1 3} = 1, 92

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 0 \cdot 1 1}{4 \cdot 1 , 9 2 2 \cdot 1 3} = 5, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 10, 21 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 6, 928 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 5, 679

Vypočítať ďaľší trojuholník