Trojuholník 5 10 12

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 10 c = 12

Obsah trojuholníka: S = 24,54546022579
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Uhol ∠ A = α = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Uhol ∠ B = β = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 0,95881921787 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,95327841989° = 100°57'10″ = 1,76219584733 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,81878409032
Výška trojuholníka: v_b = 4,90989204516
Výška trojuholníka: v_c = 4,0910767043

Ťažnica: t_a = 10,75987173957
Ťažnica: t_b = 7,71436243103
Ťažnica: t_c = 5,14878150705

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,81881186858
Polomer opísanej kružnice: R = 6,11113233135

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[2,875; 4,0910767043]
Ťažisko: T[4,95883333333; 1,36435890143]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -1,16111514296]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,81881186858]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ B' = β' = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 0,95881921787 rad
∠ C' = γ' = 79,04772158011° = 79°2'50″ = 1,76219584733 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 10 c = 12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 10 + 12 = 27

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 5) (13, 5 - 10) (13, 5 - 12) S = 602, 44 = 24, 54

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 5 4}{5} = 9, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 5 4}{1 0} = 4, 91 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 5 4}{1 2} = 4, 09

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 2}) = 24 ° 8^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 2}) = 54 ° 5 4^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 24 ° 8^{'} 49 " - 54 ° 5 4^{'} 1 " = 100 ° 5 7^{'} 10 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 5 4}{1 3 , 5} = 1, 82

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 0 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 8 1 8 \cdot 1 3 , 5} = 6, 11

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 10, 759 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 7, 714 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 5, 148

Vypočítať ďaľší trojuholník