Trojuholník 5 10 14

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 10
c = 14

Obsah trojuholníka: S = 17,60550418915
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Uhol ∠ A = α = 14,56663276483° = 14°33'59″ = 0,25442303774 rad
Uhol ∠ B = β = 30,1998757023° = 30°11'56″ = 0,52770677401 rad
Uhol ∠ C = γ = 135,23549153287° = 135°14'6″ = 2,36602945361 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 7,04220167566
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,52110083783
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,51550059845

Ťažnica: t_a = 11,90658808998
Ťažnica: t_b = 9,24766210045
Ťažnica: t_c = 3,67442346142

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,21441408201
Polomer opísanej kružnice: R = 9,94403341997

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[4,32114285714; 2,51550059845]
Ťažisko: T[6,10771428571; 0,83883353282]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -7,05876372818]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,21441408201]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,43436723517° = 165°26'1″ = 0,25442303774 rad
∠ B' = β' = 149,8011242977° = 149°48'4″ = 0,52770677401 rad
∠ C' = γ' = 44,76550846713° = 44°45'54″ = 2,36602945361 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 10 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 10 + 14 = 29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 5) (14, 5 - 10) (14, 5 - 14) S = 309, 94 = 17, 61

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 , 6 1}{5} = 7, 04 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 , 6 1}{1 0} = 3, 52 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 , 6 1}{1 4} = 2, 52

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 4 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 4}) = 14 ° 3 3^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 4}) = 30 ° 1 1^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 3 3^{'} 59 " - 30 ° 1 1^{'} 56 " = 135 ° 1 4^{'} 6 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 , 6 1}{1 4 , 5} = 1, 21

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 0 \cdot 1 4}{4 \cdot 1 , 2 1 4 \cdot 1 4 , 5} = 9, 94

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 11, 906 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 9, 247 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 3, 674

Vypočítať ďaľší trojuholník