Trojuholník 5 11 11
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 11 c = 11Obsah trojuholníka: S = 26,7880356607
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Uhol ∠ A = α = 26,27331175739° = 26°16'23″ = 0,45985524064 rad
Uhol ∠ B = β = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1,34215201236 rad
Uhol ∠ C = γ = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1,34215201236 rad
Výška trojuholníka: va = 10,71221426428
Výška trojuholníka: vb = 4,86991557467
Výška trojuholníka: vc = 4,86991557467
Ťažnica: ta = 10,71221426428
Ťažnica: tb = 6,53883484153
Ťažnica: tc = 6,53883484153
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,9843730119
Polomer opísanej kružnice: R = 5,64877963389
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[1,13663636364; 4,86991557467]
Ťažisko: T[4,04554545455; 1,62330519156]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,2843590077]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,9843730119]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,72768824261° = 153°43'37″ = 0,45985524064 rad
∠ B' = β' = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1,34215201236 rad
∠ C' = γ' = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1,34215201236 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=11 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+11+11=27
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−5)(13,5−11)(13,5−11) S=717,19=26,78
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 26,78=10,71 vb=b2 S=112⋅ 26,78=4,87 vc=c2 S=112⋅ 26,78=4,87
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−52)=26°16′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1152+112−112)=76°51′48" γ=180°−α−β=180°−26°16′23"−76°51′48"=76°51′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,526,78=1,98
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,984⋅ 13,55⋅ 11⋅ 11=5,65
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−52=10,712 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 52−112=6,538 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 112−112=6,538
Vypočítať ďaľší trojuholník