Trojuholník 5 11 12
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 11 c = 12Obsah trojuholníka: S = 27,49554541697
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Uhol ∠ A = α = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Uhol ∠ B = β = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,15992794807 rad
Uhol ∠ C = γ = 88,95882011495° = 88°57'30″ = 1,55326135067 rad
Výška trojuholníka: va = 10,99881816679
Výška trojuholníka: vb = 4,99991734854
Výška trojuholníka: vc = 4,5832575695
Ťažnica: ta = 11,23661025271
Ťažnica: tb = 7,36554599313
Ťažnica: tc = 6,08327625303
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,96439610121
Polomer opísanej kružnice: R = 6,00109919815
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[2; 4,5832575695]
Ťažisko: T[4,66766666667; 1,52875252317]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 0,10991089451]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,96439610121]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ B' = β' = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,15992794807 rad
∠ C' = γ' = 91,04217988505° = 91°2'30″ = 1,55326135067 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=11 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+11+12=28
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−5)(14−11)(14−12) S=756=27,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 27,5=11 vb=b2 S=112⋅ 27,5=5 vc=c2 S=122⋅ 27,5=4,58
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 12112+122−52)=24°37′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1252+122−112)=66°25′19" γ=180°−α−β=180°−24°37′12"−66°25′19"=88°57′30"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1427,5=1,96
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,964⋅ 145⋅ 11⋅ 12=6
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 122−52=11,236 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 52−112=7,365 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 112−122=6,083
Vypočítať ďaľší trojuholník