Trojuholník 5 11 13
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 11 c = 13Obsah trojuholníka: S = 26,89221456935
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 22,09331769923° = 22°5'35″ = 0,38655986807 rad
Uhol ∠ B = β = 55,83877404834° = 55°50'16″ = 0,97545524183 rad
Uhol ∠ C = γ = 102,06990825244° = 102°4'9″ = 1,78114415545 rad
Výška trojuholníka: va = 10,75768582774
Výška trojuholníka: vb = 4,88994810352
Výška trojuholníka: vc = 4,13772531836
Ťažnica: ta = 11,77992189894
Ťažnica: tb = 8,17700673192
Ťažnica: tc = 5,54552682532
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,85546307375
Polomer opísanej kružnice: R = 6,6476922192
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[2,80876923077; 4,13772531836]
Ťažisko: T[5,26992307692; 1,37990843945]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -1,39898110038]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,85546307375]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,90768230077° = 157°54'25″ = 0,38655986807 rad
∠ B' = β' = 124,16222595166° = 124°9'44″ = 0,97545524183 rad
∠ C' = γ' = 77,93109174756° = 77°55'51″ = 1,78114415545 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=11 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+11+13=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−5)(14,5−11)(14,5−13) S=723,19=26,89
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 26,89=10,76 vb=b2 S=112⋅ 26,89=4,89 vc=c2 S=132⋅ 26,89=4,14
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 13112+132−52)=22°5′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1352+132−112)=55°50′16" γ=180°−α−β=180°−22°5′35"−55°50′16"=102°4′9"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,526,89=1,85
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,855⋅ 14,55⋅ 11⋅ 13=6,65
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 132−52=11,779 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 52−112=8,17 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 112−132=5,545
Vypočítať ďaľší trojuholník