Trojuholník 5 6 7
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 6 c = 7Obsah trojuholníka: S = 14,69769384567
Obvod trojuholníka: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9
Uhol ∠ A = α = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Uhol ∠ B = β = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 0,99769608743 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad
Výška trojuholníka: va = 5,87987753827
Výška trojuholníka: vb = 4,89989794856
Výška trojuholníka: vc = 4,19991252733
Ťažnica: ta = 6,02107972894
Ťažnica: tb = 5,29215026221
Ťažnica: tc = 4,27220018727
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,63329931619
Polomer opísanej kružnice: R = 3,57221725416
Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[2,71442857143; 4,19991252733]
Ťažisko: T[3,23880952381; 1.43997084244]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; 0,71444345083]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,63329931619]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ B' = β' = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 0,99769608743 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=6 c=7
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+6+7=18
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=218=9
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9(9−5)(9−6)(9−7) S=216=14,7
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 14,7=5,88 vb=b2 S=62⋅ 14,7=4,9 vc=c2 S=72⋅ 14,7=4,2
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 762+72−52)=44°24′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 752+72−62)=57°7′18" γ=180°−α−β=180°−44°24′55"−57°7′18"=78°27′47"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=914,7=1,63
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,633⋅ 95⋅ 6⋅ 7=3,57
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 72−52=6,021 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 52−62=5,292 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 62−72=4,272
Vypočítať ďaľší trojuholník