Trojuholník 5 7 10
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 7 c = 10Obsah trojuholníka: S = 16,24880768093
Obvod trojuholníka: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11
Uhol ∠ A = α = 27,66604498993° = 27°39'38″ = 0,48327659233 rad
Uhol ∠ B = β = 40,53658021113° = 40°32'9″ = 0,70774832118 rad
Uhol ∠ C = γ = 111,80437479894° = 111°48'13″ = 1,95113435185 rad
Výška trojuholníka: va = 6,49992307237
Výška trojuholníka: vb = 4,64223076598
Výška trojuholníka: vc = 3,25496153619
Ťažnica: ta = 8,26113558209
Ťažnica: tb = 7,08987234394
Ťažnica: tc = 3,46441016151
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,47770978918
Polomer opísanej kružnice: R = 5,38552527303
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[3,8; 3,25496153619]
Ťažisko: T[4,6; 1,08332051206]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -22,0002367284]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,47770978918]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,34395501007° = 152°20'22″ = 0,48327659233 rad
∠ B' = β' = 139,46441978887° = 139°27'51″ = 0,70774832118 rad
∠ C' = γ' = 68,19662520106° = 68°11'47″ = 1,95113435185 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=7 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+7+10=22
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=222=11
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11(11−5)(11−7)(11−10) S=264=16,25
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 16,25=6,5 vb=b2 S=72⋅ 16,25=4,64 vc=c2 S=102⋅ 16,25=3,25
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1072+102−52)=27°39′38" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1052+102−72)=40°32′9" γ=180°−α−β=180°−27°39′38"−40°32′9"=111°48′13"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1116,25=1,48
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,477⋅ 115⋅ 7⋅ 10=5,39
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 102−52=8,261 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 52−72=7,089 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 72−102=3,464
Vypočítať ďaľší trojuholník