Trojuholník 5 7 11
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 7 c = 11Obsah trojuholníka: S = 12,96987123493
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Uhol ∠ A = α = 19,68550548247° = 19°41'6″ = 0,34435690201 rad
Uhol ∠ B = β = 28,13875265744° = 28°8'15″ = 0,49110924821 rad
Uhol ∠ C = γ = 132,17774186009° = 132°10'39″ = 2,30769311514 rad
Výška trojuholníka: va = 5,18774849397
Výška trojuholníka: vb = 3,70553463855
Výška trojuholníka: vc = 2,35879476999
Ťažnica: ta = 8,87441196746
Ťažnica: tb = 7,79442286341
Ťažnica: tc = 2,59880762114
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,12877141173
Polomer opísanej kružnice: R = 7,42217082936
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[4,40990909091; 2,35879476999]
Ťažisko: T[5,13663636364; 0,78659825666]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -4,98331469971]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,12877141173]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,31549451753° = 160°18'54″ = 0,34435690201 rad
∠ B' = β' = 151,86224734256° = 151°51'45″ = 0,49110924821 rad
∠ C' = γ' = 47,82325813991° = 47°49'21″ = 2,30769311514 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=7 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+7+11=23
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−5)(11,5−7)(11,5−11) S=168,19=12,97
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 12,97=5,19 vb=b2 S=72⋅ 12,97=3,71 vc=c2 S=112⋅ 12,97=2,36
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1172+112−52)=19°41′6" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1152+112−72)=28°8′15" γ=180°−α−β=180°−19°41′6"−28°8′15"=132°10′39"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=11,512,97=1,13
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,128⋅ 11,55⋅ 7⋅ 11=7,42
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 112−52=8,874 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 52−72=7,794 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 72−112=2,598
Vypočítať ďaľší trojuholník