Trojuholník 5 7 9

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 7 c = 9

Obsah trojuholníka: S = 17,41222801494
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Uhol ∠ A = α = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Uhol ∠ B = β = 50,70435197608° = 50°42'13″ = 0,88549433622 rad
Uhol ∠ C = γ = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,6710963748 rad

Výška trojuholníka: v_a = 6,96549120597
Výška trojuholníka: v_b = 4,97549371855
Výška trojuholníka: v_c = 3,86993955887

Ťažnica: t_a = 7,66548548584
Ťažnica: t_b = 6,38435726674
Ťažnica: t_c = 4,09326763859

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,65883123952
Polomer opísanej kružnice: R = 4,52326701687

Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[3,16766666667; 3,86993955887]
Ťažisko: T[4,05655555556; 1,29897985296]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; -0,45222670169]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,65883123952]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ B' = β' = 129,29664802392° = 129°17'47″ = 0,88549433622 rad
∠ C' = γ' = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,6710963748 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 7 c = 9

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 7 + 9 = 21

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1}{2} = 10, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 5 (10, 5 - 5) (10, 5 - 7) (10, 5 - 9) S = 303, 19 = 17, 41

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 , 4 1}{5} = 6, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 , 4 1}{7} = 4, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 , 4 1}{9} = 3, 87

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 9 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 9}) = 33 ° 3 3^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 9}) = 50 ° 4 2^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 3 3^{'} 26 " - 50 ° 4 2^{'} 13 " = 95 ° 4 4^{'} 21 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 , 4 1}{1 0 , 5} = 1, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 7 \cdot 9}{4 \cdot 1 , 6 5 8 \cdot 1 0 , 5} = 4, 52

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 7, 665 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 6, 384 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 4, 093

Vypočítať ďaľší trojuholník