Trojuholník 5 8 10
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 8 c = 10Obsah trojuholníka: S = 19,81100353357
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Uhol ∠ A = α = 29,68662952314° = 29°41'11″ = 0,51881235945 rad
Uhol ∠ B = β = 52,41104970351° = 52°24'38″ = 0,91547357359 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,90332077335° = 97°54'12″ = 1,70987333232 rad
Výška trojuholníka: va = 7,92440141343
Výška trojuholníka: vb = 4,95325088339
Výška trojuholníka: vc = 3,96220070671
Ťažnica: ta = 8,70334475928
Ťažnica: tb = 6,81990908485
Ťažnica: tc = 4,41658804332
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,72326117683
Polomer opísanej kružnice: R = 5,04879465738
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[3,05; 3,96220070671]
Ťažisko: T[4,35; 1,32106690224]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -0,69440926539]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,72326117683]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,31437047686° = 150°18'49″ = 0,51881235945 rad
∠ B' = β' = 127,59895029649° = 127°35'22″ = 0,91547357359 rad
∠ C' = γ' = 82,09767922665° = 82°5'48″ = 1,70987333232 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=8 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+8+10=23
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−5)(11,5−8)(11,5−10) S=392,44=19,81
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 19,81=7,92 vb=b2 S=82⋅ 19,81=4,95 vc=c2 S=102⋅ 19,81=3,96
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1082+102−52)=29°41′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1052+102−82)=52°24′38" γ=180°−α−β=180°−29°41′11"−52°24′38"=97°54′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=11,519,81=1,72
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,723⋅ 11,55⋅ 8⋅ 10=5,05
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 102−52=8,703 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 52−82=6,819 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 82−102=4,416
Vypočítať ďaľší trojuholník