Trojuholník 5 8 11
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5
b = 8
c = 11
Obsah trojuholníka: S = 18,33303027798
Obvod trojuholníka: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12
Uhol ∠ A = α = 24,62199773287° = 24°37'12″ = 0,43296996662 rad
Uhol ∠ B = β = 41,80218441931° = 41°48'7″ = 0,73295798146 rad
Uhol ∠ C = γ = 113,57881784782° = 113°34'41″ = 1,98223131729 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,33221211119
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,5832575695
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,33327823236
Ťažnica: ta = 9,28770878105
Ťažnica: tb = 7,55498344353
Ťažnica: tc = 3,77549172176
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,52875252317
Polomer opísanej kružnice: R = 6,00109919815
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[3,72772727273; 3,33327823236]
Ťažisko: T[4,90990909091; 1,11109274412]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -2.44003967926]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,52875252317]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,38800226713° = 155°22'48″ = 0,43296996662 rad
∠ B' = β' = 138,19881558069° = 138°11'53″ = 0,73295798146 rad
∠ C' = γ' = 66,42218215218° = 66°25'19″ = 1,98223131729 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=8 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+8+11=24
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=224=12
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12(12−5)(12−8)(12−11) S=336=18,33
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 18,33=7,33 vb=b2 S=82⋅ 18,33=4,58 vc=c2 S=112⋅ 18,33=3,33
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−52)=24°37′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1152+112−82)=41°48′7" γ=180°−α−β=180°−24°37′12"−41°48′7"=113°34′41"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1218,33=1,53
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,528⋅ 125⋅ 8⋅ 11=6
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 112−52=9,287 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 52−82=7,55 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 82−112=3,775
Vypočítať ďaľší trojuholník