Trojuholník 5 8 12

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 8 c = 12

Obsah trojuholníka: S = 14,52436875483
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Uhol ∠ A = α = 17,61224390704° = 17°36'45″ = 0,30773950511 rad
Uhol ∠ B = β = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Uhol ∠ C = γ = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 2,32988370922 rad

Výška trojuholníka: v_a = 5,80994750193
Výška trojuholníka: v_b = 3,63109218871
Výška trojuholníka: v_c = 2,42106145914

Ťažnica: t_a = 9,88768599666
Ťažnica: t_b = 8,27664726786
Ťažnica: t_c = 2,91554759474

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,16218950039
Polomer opísanej kružnice: R = 8,26223644719

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[4,375; 2,42106145914]
Ťažisko: T[5,45883333333; 0,80768715305]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -5,68803755744]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,16218950039]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,38875609297° = 162°23'15″ = 0,30773950511 rad
∠ B' = β' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ C' = γ' = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 2,32988370922 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 8 c = 12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 8 + 12 = 25

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5}{2} = 12, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 5 (12, 5 - 5) (12, 5 - 8) (12, 5 - 12) S = 210, 94 = 14, 52

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 2}{5} = 5, 81 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 2}{8} = 3, 63 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 2}{1 2} = 2, 42

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 2}) = 17 ° 3 6^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 2}) = 28 ° 5 7^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 3 6^{'} 45 " - 28 ° 5 7^{'} 18 " = 133 ° 2 5^{'} 57 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 5 2}{1 2 , 5} = 1, 16

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 1 6 2 \cdot 1 2 , 5} = 8, 26

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 9, 887 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 8, 276 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 2, 915

Vypočítať ďaľší trojuholník