Trojuholník 5 8 9
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 8 c = 9Obsah trojuholníka: S = 19.98997487421
Obvod trojuholníka: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11
Uhol ∠ A = α = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Uhol ∠ B = β = 62,18218607153° = 62°10'55″ = 1,08552782045 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,26108295227° = 84°15'39″ = 1,47106289056 rad
Výška trojuholníka: va = 7,96598994969
Výška trojuholníka: vb = 4,97549371855
Výška trojuholníka: vc = 4,42221663871
Ťažnica: ta = 8,1399410298
Ťažnica: tb = 6,08327625303
Ťažnica: tc = 4,92444289009
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,80990680675
Polomer opísanej kružnice: R = 4,52326701687
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[2,33333333333; 4,42221663871]
Ťažisko: T[3,77877777778; 1,47440554624]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 0,45222670169]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,80990680675]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ B' = β' = 117,81881392847° = 117°49'5″ = 1,08552782045 rad
∠ C' = γ' = 95,73991704773° = 95°44'21″ = 1,47106289056 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=8 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+8+9=22
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=222=11
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11(11−5)(11−8)(11−9) S=396=19,9
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 19,9=7,96 vb=b2 S=82⋅ 19,9=4,97 vc=c2 S=92⋅ 19,9=4,42
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−52)=33°33′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 952+92−82)=62°10′55" γ=180°−α−β=180°−33°33′26"−62°10′55"=84°15′39"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1119,9=1,81
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,809⋅ 115⋅ 8⋅ 9=4,52
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−52=8,139 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 52−82=6,083 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 82−92=4,924
Vypočítať ďaľší trojuholník