Trojuholník 5 9 10

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 9 c = 10

Obsah trojuholníka: S = 22,45499443206
Obvod trojuholníka: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12

Uhol ∠ A = α = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Uhol ∠ B = β = 63,89661188627° = 63°53'46″ = 1,11551976534 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,50440801784 rad

Výška trojuholníka: v_a = 8,98799777283
Výška trojuholníka: v_b = 4,98988765157
Výška trojuholníka: v_c = 4,49899888641

Ťažnica: t_a = 9,17987798753
Ťažnica: t_b = 6,5
Ťažnica: t_c = 5,29215026221

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,87108286934
Polomer opísanej kružnice: R = 5,01111482859

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[2,2; 4,49899888641]
Ťažisko: T[4,06766666667; 1,49766629547]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 0,33440765524]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,87108286934]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ B' = β' = 116,10438811373° = 116°6'14″ = 1,11551976534 rad
∠ C' = γ' = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,50440801784 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 9 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 9 + 10 = 24

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4}{2} = 12

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12 (12 - 5) (12 - 9) (12 - 10) S = 504 = 22, 45

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 , 4 5}{5} = 8, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 , 4 5}{9} = 4, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 , 4 5}{1 0} = 4, 49

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 29 ° 5 5^{'} 35 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 0}) = 63 ° 5 3^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 5 5^{'} 35 " - 63 ° 5 3^{'} 46 " = 86 ° 1 0^{'} 39 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 , 4 5}{1 2} = 1, 87

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 8 7 1 \cdot 1 2} = 5, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 9, 179 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 6, 5 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 5, 292

Vypočítať ďaľší trojuholník