Trojuholník 5 9 11

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 9
c = 11

Obsah trojuholníka: S = 22,18552991866
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Uhol ∠ A = α = 26,6277478393° = 26°37'39″ = 0,46547371695 rad
Uhol ∠ B = β = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 0,93986110781 rad
Uhol ∠ C = γ = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,7388244406 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,87441196746
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,93300664859
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,03436907612

Ťažnica: t_a = 9,7343961167
Ťažnica: t_b = 7,26329195232
Ťažnica: t_c = 4,77696960071

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,77548239349
Polomer opísanej kružnice: R = 5,57880180812

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[2,95545454545; 4,03436907612]
Ťažisko: T[4,65215151515; 1,34545635871]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -0,93296696802]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,77548239349]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,3732521607° = 153°22'21″ = 0,46547371695 rad
∠ B' = β' = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 0,93986110781 rad
∠ C' = γ' = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,7388244406 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 9 c = 11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 9 + 11 = 25

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5}{2} = 12, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 5 (12, 5 - 5) (12, 5 - 9) (12, 5 - 11) S = 492, 19 = 22, 19

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 , 1 9}{5} = 8, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 , 1 9}{9} = 4, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 , 1 9}{1 1} = 4, 03

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 1}) = 26 ° 3 7^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 1}) = 53 ° 4 6^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 3 7^{'} 39 " - 53 ° 4 6^{'} 42 " = 99 ° 3 5^{'} 39 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 , 1 9}{1 2 , 5} = 1, 77

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 1 1}{4 \cdot 1 , 7 7 5 \cdot 1 2 , 5} = 5, 58

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 9, 734 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 7, 263 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 4, 77

Vypočítať ďaľší trojuholník