Trojuholník 5 9 12

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 5
b = 9
c = 12

Obsah trojuholníka: S = 20,39660780544
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Uhol ∠ A = α = 22,19216065663° = 22°11'30″ = 0,38773166009 rad
Uhol ∠ B = β = 42,83334280661° = 42°50' = 0,74875843497 rad
Uhol ∠ C = γ = 114,97549653677° = 114°58'30″ = 2,0076691703 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,15884312217
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,53224617899
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,39993463424

Ťažnica: t_a = 10,3087764064
Ťažnica: t_b = 8,01656097709
Ťažnica: t_c = 4,12331056256

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,56989290811
Polomer opísanej kružnice: R = 6,61989195609

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[3,66766666667; 3,39993463424]
Ťažisko: T[5,22222222222; 1,13331154475]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -2,79546549257]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,56989290811]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,80883934337° = 157°48'30″ = 0,38773166009 rad
∠ B' = β' = 137,16765719339° = 137°10' = 0,74875843497 rad
∠ C' = γ' = 65,02550346323° = 65°1'30″ = 2,0076691703 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5 b = 9 c = 12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 9 + 12 = 26

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 5) (13 - 9) (13 - 12) S = 416 = 20, 4

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{5} = 8, 16 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{9} = 4, 53 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 4}{1 2} = 3, 4

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 2}) = 22 ° 1 1^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 2}) = 42 ° 5 0^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 1 1^{'} 30 " - 42 ° 5 0^{'} = 114 ° 5 8^{'} 30 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 4}{1 3} = 1, 57

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 5 6 9 \cdot 1 3} = 6, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 10, 308 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 8, 016 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 4, 123

Vypočítať ďaľší trojuholník