Trojuholník 6 10 11
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 10
c = 11
Obsah trojuholníka: S = 29,76547022495
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Uhol ∠ A = α = 32,76437577589° = 32°45'50″ = 0,57218354482 rad
Uhol ∠ B = β = 64,41769980226° = 64°25'1″ = 1,12442887097 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,92215674165
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,95329404499
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,41217640454
Ťažnica: ta = 10,07547208398
Ťažnica: tb = 7,31443694192
Ťažnica: tc = 6,14441028637
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,20547927592
Polomer opísanej kružnice: R = 5,54334789375
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[2,59109090909; 5,41217640454]
Ťažisko: T[4,53303030303; 1,80439213485]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 0,69329348672]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,20547927592]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,23662422411° = 147°14'10″ = 0,57218354482 rad
∠ B' = β' = 115,58330019774° = 115°34'59″ = 1,12442887097 rad
∠ C' = γ' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=10 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+10+11=27
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−6)(13,5−10)(13,5−11) S=885,94=29,76
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 29,76=9,92 vb=b2 S=102⋅ 29,76=5,95 vc=c2 S=112⋅ 29,76=5,41
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 11102+112−62)=32°45′50" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−102)=64°25′1" γ=180°−α−β=180°−32°45′50"−64°25′1"=82°49′9"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,529,76=2,2
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,205⋅ 13,56⋅ 10⋅ 11=5,54
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 112−62=10,075 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−102=7,314 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 102−112=6,144
Vypočítať ďaľší trojuholník