Trojuholník 6 11 12
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 6 b = 11 c = 12Obsah trojuholníka: S = 32,84395721653
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 29,83993144221° = 29°50'22″ = 0,52107942832 rad
Uhol ∠ B = β = 65,81326135681° = 65°48'45″ = 1,14986467961 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,34880720098° = 84°20'53″ = 1,47221515743 rad
Výška trojuholníka: va = 10,94765240551
Výška trojuholníka: vb = 5,97108313028
Výška trojuholníka: vc = 5,47332620276
Ťažnica: ta = 11,11330553854
Ťažnica: tb = 7,73298124169
Ťažnica: tc = 6,51992024052
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,26547980804
Polomer opísanej kružnice: R = 6,02993111921
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[2,45883333333; 5,47332620276]
Ťažisko: T[4,81994444444; 1,82444206759]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 0,59437957992]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,26547980804]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,16106855779° = 150°9'38″ = 0,52107942832 rad
∠ B' = β' = 114,18773864319° = 114°11'15″ = 1,14986467961 rad
∠ C' = γ' = 95,65219279902° = 95°39'7″ = 1,47221515743 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=11 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+11+12=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−6)(14,5−11)(14,5−12) S=1078,44=32,84
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 32,84=10,95 vb=b2 S=112⋅ 32,84=5,97 vc=c2 S=122⋅ 32,84=5,47
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 12112+122−62)=29°50′22" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1262+122−112)=65°48′45" γ=180°−α−β=180°−29°50′22"−65°48′45"=84°20′53"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,532,84=2,26
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,265⋅ 14,56⋅ 11⋅ 12=6,03
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 122−62=11,113 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 62−112=7,73 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 112−122=6,519
Vypočítať ďaľší trojuholník