Trojuholník 6 7 11
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 6 b = 7 c = 11Obsah trojuholníka: S = 18,9743665961
Obvod trojuholníka: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12
Uhol ∠ A = α = 29,52662652473° = 29°31'35″ = 0,51553305444 rad
Uhol ∠ B = β = 35,09768012276° = 35°5'48″ = 0,61325547383 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,37769335252° = 115°22'37″ = 2,01437073709 rad
Výška trojuholníka: va = 6,32545553203
Výška trojuholníka: vb = 5,42110474174
Výška trojuholníka: vc = 3,45497574475
Ťažnica: ta = 8,71877978871
Ťažnica: tb = 8,1399410298
Ťažnica: tc = 3,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,58111388301
Polomer opísanej kružnice: R = 6,08773844958
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[4,90990909091; 3,45497574475]
Ťažisko: T[5,3033030303; 1,15499191492]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -2,60988790696]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 1,58111388301]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,47437347527° = 150°28'25″ = 0,51553305444 rad
∠ B' = β' = 144,90331987724° = 144°54'12″ = 0,61325547383 rad
∠ C' = γ' = 64,62330664748° = 64°37'23″ = 2,01437073709 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=7 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+7+11=24
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=224=12
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12(12−6)(12−7)(12−11) S=360=18,97
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 18,97=6,32 vb=b2 S=72⋅ 18,97=5,42 vc=c2 S=112⋅ 18,97=3,45
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1172+112−62)=29°31′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−72)=35°5′48" γ=180°−α−β=180°−29°31′35"−35°5′48"=115°22′37"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1218,97=1,58
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,581⋅ 126⋅ 7⋅ 11=6,09
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 112−62=8,718 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−72=8,139 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 72−112=3,5
Vypočítať ďaľší trojuholník