Trojuholník 6 7 12

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 7 c = 12

Obsah trojuholníka: S = 14,94878259289
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Uhol ∠ A = α = 20,84986512302° = 20°50'55″ = 0,36438776086 rad
Uhol ∠ B = β = 24,5333007117° = 24°31'59″ = 0,42881817496 rad
Uhol ∠ C = γ = 134,61883416529° = 134°37'6″ = 2,35495332954 rad

Výška trojuholníka: v_a = 4,9832608643
Výška trojuholníka: v_b = 4,27108074083
Výška trojuholníka: v_c = 2,49113043215

Ťažnica: t_a = 9,35441434669
Ťažnica: t_b = 8,81875960443
Ťažnica: t_c = 2,55495097568

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,19658260743
Polomer opísanej kružnice: R = 8,42993194609

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[5,45883333333; 2,49113043215]
Ťažisko: T[5,81994444444; 0,83304347738]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -5,92105934309]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 1,19658260743]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,15113487698° = 159°9'5″ = 0,36438776086 rad
∠ B' = β' = 155,4676992883° = 155°28'1″ = 0,42881817496 rad
∠ C' = γ' = 45,38216583472° = 45°22'54″ = 2,35495332954 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 7 c = 12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 7 + 12 = 25

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5}{2} = 12, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 5 (12, 5 - 6) (12, 5 - 7) (12, 5 - 12) S = 223, 44 = 14, 95

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 9 5}{6} = 4, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 9 5}{7} = 4, 27 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 9 5}{1 2} = 2, 49

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 2}) = 20 ° 5 0^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 2}) = 24 ° 3 1^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 20 ° 5 0^{'} 55 " - 24 ° 3 1^{'} 59 " = 134 ° 3 7^{'} 6 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 9 5}{1 2 , 5} = 1, 2

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 1 9 6 \cdot 1 2 , 5} = 8, 43

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 9, 354 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 8, 818 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 2, 55

Vypočítať ďaľší trojuholník